Statistica by David J. Hand

autore:David J. Hand [Hand, David J.]
La lingua: ita
Format: epub, azw3
editore: Codice
pubblicato: 2012-04-30T22:00:00+00:00

Le leggi del caso

Abbiamo già menzionato una delle leggi della probabilità, la legge dei grandi numeri. È una legge che collega la matematica delle probabilità con le osservazioni empiriche del mondo reale. Altre leggi della probabilità sono implicite negli assiomi della probabilità. Alcune leggi molto importanti coinvolgono il concetto di indipendenza.

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno dei due non influenza la probabilità che si verifichi l’altro. Il fatto che la moneta che ho lanciato con la mano sinistra dia croce anziché testa non influenza il risultato del lancio di una moneta con la mano destra. Questi due lanci sono indipendenti. Se la probabilità che la moneta nella mano sinistra dia testa è ½, e la probabilità che la moneta nella mano destra dia testa è ½, allora la probabilità che entrambe diano testa è ½ × ½ = ¼. È facile convincersene, perché ci si aspetta che ripetendo molte volte l’esperimento del doppio lancio otterremo che circa metà delle monete lanciate con la sinistra diano testa e, in questi lanci, circa metà delle monete lanciate con la destra diano testa, perché l’esito del primo lancio non influenza il secondo. Complessivamente, quindi, circa ¼ dei doppi lanci darà due teste. Analogamente, circa ¼ darà croce a sinistra e testa a destra, circa ¼ darà testa a sinistra e croce a destra, e circa ¼ darà croce sia a sinistra che a destra.

La probabilità di cadere per strada, invece, di sicuro non è indipendente da un’eventuale nevicata; questi eventi sono dipendenti. Abbiamo visto nel Capitolo 1 un altro esempio di eventi dipendenti: il tragico caso di Sally Clark, con le due morti in culla nella stessa famiglia. Quando gli eventi non sono indipendenti, non possiamo calcolare la probabilità che accadano entrambi semplicemente moltiplicando le loro probabilità separate. Questo fu proprio l’errore alla base del caso di Sally Clark. Per convincercene, consideriamo la situazione più estrema in cui gli eventi siano completamente dipendenti: quando cioè l’esito di uno determina completamente l’esito dell’altro. Per esempio, consideriamo un singolo lancio di una moneta, e i due eventi “la faccia superiore della moneta è testa” e “la faccia inferiore della moneta è croce”. Ognuno di questi eventi ha una probabilità pari a ½: la probabilità che la moneta dia testa è ½, e la probabilità che la faccia inferiore della moneta sia croce è ½. Ma chiaramente non sono eventi indipendenti: anzi, sono completamente dipendenti. Dopo tutto, se è vero il primo evento (testa in alto) deve essere vero anche il secondo (croce in basso). Dato che sono completamente dipendenti, la probabilità che avvengano entrambi è uguale semplicemente alla probabilità che avvenga il primo: una probabilità pari a ½, che non è quello che otterremmo se moltiplicassimo tra loro le due probabilità separate pari a ½.

In generale, la dipendenza tra due eventi significa che la probabilità che accada uno dei due dipende dal fatto che l’altro sia accaduto o no.

Gli statistici chiamano probabilità congiunta di due eventi la probabilità che entrambi questi due eventi si verifichino.

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